کبود » اموزشی » خصوصیات بیضی + فرمول محاسبه مساحت و محیط بیضی

خصوصیات بیضی + فرمول محاسبه مساحت و محیط بیضی

خصوصیات بیضی + فرمول محاسبه مساحت و محیط بیضی

بیضی

در هندسه، بیضی یک خم مسطح (خم محصور در صفحهٔ اقلیدوسی) است که از برخورد یک صفحه با یک مخروط به گونه‌ای یک خم بسته ایجاد شود، حاصل می‌شود. دایره حالت خاص بیضی است که هنگامی به دست می‌آید که صفحهٔ برخوردکننده بر محور مخروط عمود باشد. در هندسه تحلیلی، بیضی به صورت مجموعه نقاطی تعریف می‌شود که نسبت فاصلهٔ هر نقطه از یک نقطه (که آن راکانون بیضی گویند) به فاصلهٔ آن از یک خط راست (که آن را خط هادی گویند) یک عدد ثابت (که آن را برون‌مرکزی یا e گویند) کوچکتر از یک باشد. تعریف دیگر عبارت است از مکان هندسی نقاطی از صفحه که مجموع فاصله‌های آن‌ها از دو نقطهٔ ثابت مساوی با ثابتی مثبت باشد.

مفهوم بیضی مترادف با مقطع مخروطی محدود است. هر مقطع مخروطی از برخورد یک مخروط دایره‌ای با صفحه‌ای که از رأس مخروط نمی‌گذرد تشکیل می‌شود. دو نوع خم دیگر نیز از برخورد صفحه با مخروط می‌توانند ایجاد شوند، اما این خم‌ها همگی باز و نامحدودند و سهمی و هذلولی خوانده می‌شوند.

مساحت بیضی = (نصف قطر بزرگ × نصف قطر کوچک ) × 3/14 

محیط بیضی به کمک انتگرال‌های کامل بیضوی نوع دوم قابل محاسبه‌است. البته فرمول صریحی همانند مساحت بیضی برای محیط بیضی وجود ندارد؛ و محیط بیضی تنها بوسیلهٔ سری نامتناهی قابل محاسبه‌ است.

 

اجزای بیضی

یک بیضی یک خم بسته‌است که نسبت به محورهای عمودی و افقی خود متقارن است. دو نقطه بر روی محیط بیضی که در دو سوی مخالف هم قرار دارند، یا به بیان دیگر، دو نقطه که خط واصل میان آن‌ها از مرکز بیضی عبور می‌کند هنگامی در دورترین فاصله نسبت به هم قرار دارند که بر روی قطر بزرگ بیضی یا محور تقارن بزرگتر بیضی قرار گرفته باشند؛ و هنگامی کمترین مقدار را دارد که آن دو نقطه بر روی محور عمود بر قطر بزرگ، یعنی محور تقارن کوچکتر یا قطر کوچکبیضی قرار گرفته باشند.

نیم‌قطر بزرگ (که در شکل با a نمایش داده شده‌است) و نیم‌قطر کوچک بیضی (که در شکل با b نمایش داده شده‌است) به ترتیب نیمی از قطر بزرگ و نیمی از قطر کوچک بیضی اند که گاهی به آن‌ها شعاع کوچک (major radius) و شعاع بزرگ (minor radius) نیز می‌گویند. همچنین در انگلیسی به آن‌ها major semi-axes و minor semi-axes نیز گفته می‌شود.

همان گونه که گفته شد بیضی دارای دو محور عمود برهم است. چهار نقطه‌ای که حاصل از گذشتن این دو محور از محیط بیضی می‌باشند رأس نام دارند و با a/-a و b/-b نشان داده می‌شوند.

علاوه بر بیشترین و کمترین فاصله از مرکز، این چهار نقطه مکان‌هایی هستند که انحنای بیضی در آنها به بیشترین و کمترین حد خود می‌رسد.

دو کانون یا تقاط کانونی یک بیضی دو نقطهٔ ویژه F1 و F2 نام دارند که روی محور اصلی بیضی قرار دارند و فاصله آنها تا نقطهٔ مرکزی به یک اندازه است.

جمع فواصل هر نقطه‌ای مانند Pروی محیط بیضی تا این دو کانون برابر است با اندازهٔ محوراصلی.

خروج از مرکز خطی

فاصلهٔ نقطهٔ کانونی از مرکز بیضی خروج از مرکز خطی نامیده می‌شود. خروج از مرکز یک بیضی مقداری بین صفر و یک است، زمانی که خروج از مرکز صفر باشد، کانون با نقطهٔ مرکزی برخورد می‌کند و به شکل دایره در می‌آید؛ و اگر خروج از مرکز به یک نزدیک شود، بیضی حالتی کشیده پیدا می‌کند. در این حالت اگر دو کانون در یک فاصله از هم جدا و محدود قرار بگیرند بیضی به شکل یک پاره خط در می‌آید، واگر یکی از کانون‌ها در جای خود ثابت باقی بماند و دیگری آزادانه جابه‌جا شود بیضی به شکل یک سهمی نزدیک می‌شود.

معادله‌های متعارف بیضی‌هایی که مرکزشان در مبدأ قرار دارد

کانون‌ها روی محور xها

X2/a2+y2/b2=1 a>b

  • فاصله مرکز تا کانون: 1/2(c=(a2-b2
  • کانونها:(۰،c+_)
  • رأسها:(۰،a+_)
کانون‌ها روی محور yها

X2/b2+y2/a2=1 a>b

  • فاصله مرکز تا کانون: c=(a2-b2)1/2
  • کانونها:(c+_،۰)
  • رأسها:(a+_,۰)

در هر حالت a نصف طول قطر بزرگ و b نصف طول قطر کوچک است.

اشتراک گذاری مطلب
ایمیل شما آشکار نمی شود

نوشتن دیدگاه

تمام حقوق مادی , معنوی , مطالب و طرح قالب برای این سایت محفوظ است - طراحی شده توسط پارس تمز